待ち行列の計算をやさしく図解 — 利用率・平均待ち時間・平均応答時間の求め方（M/M/1）

「サーバーの利用率が上がると、なぜ急に応答が遅くなるの？」——その答えが待ち行列理論にあります。ATMの行列も、サーバーへのリクエストも、同じ数式で説明できます。この記事では、基本のM/M/1モデルについて、利用率・平均待ち時間・平均応答時間の求め方を、例題と計算ツールつきで解説します。

待ち行列とは — 到着・待ち・サービス

待ち行列は、①客が到着し、②窓口が空くまで並んで待ち、③サービスを受けて出ていくという流れをモデル化したものです。銀行のATM、レジ、そしてサーバーへのリクエスト処理も同じ構造。「単位時間に何人来るか（到着率）」と「単位時間に何人さばけるか（サービス率）」のバランスで、待ち時間が決まります。

M/M/1モデルとは

M/M/1は、待ち行列のもっとも基本的なモデルです。3つの記号にはそれぞれ意味があります（ケンドールの記号）。

つまりM/M/1は「ランダムに来る客を、1つの窓口で順番に処理する」もっともシンプルなモデルです。基本情報ではこのM/M/1が扱われます。

到着率・サービス率とは

待ち行列の計算で使う値は、「どれくらいのペースで来るか」と「どれくらいのペースでさばけるか」の2つです。それぞれ率（1単位時間あたりの件数）で表す方法と、時間（1件あたり何秒か）で表す方法があり、互いに逆数の関係です。

試験問題では、率ではなく「平均到着間隔」や「1件あたりの平均処理時間」で与えられることもよくあります。どちらで与えられても、逆数にすれば同じものとして扱えます。

利用率 ρ — 窓口の忙しさ

まず求めるのが利用率 ρ（ロー）。窓口がどれくらい忙しく働いているかの割合で、到着率λ ÷ サービス率μ で計算します。

利用率 ρ ＝ λ（到着率） ÷ μ（サービス率）

例：1分間に平均3件のリクエストが来て（λ＝3）、窓口は1分間に平均4件処理できる（μ＝4）なら、ρ＝3÷4＝0.75（75%が稼働）。ρが1以上だと、来る量が処理能力を超えるので行列が無限に伸びます。安定して回すには ρ＜1 が必須です。

利用率の出し方は3通り（どれも同じ値）

問題文で与えられる値に合わせて、使いやすい式を選べます。μ＝1÷Ts、平均到着間隔＝1÷λ なので、3つの式はすべて同じ値になります。

どの式でも、単位（秒・分など）をそろえてから計算するのが注意点です。「処理時間はミリ秒、到着は1秒あたり」のように単位が混ざっている問題はよくあります。

平均待ち時間・平均応答時間の公式

M/M/1では、利用率ρと平均サービス時間（1件の処理にかかる平均時間 ＝ 1÷μ）から、待ち時間が求まります。

先ほどの例（λ＝3、μ＝4、ρ＝0.75）で計算してみます。平均サービス時間 Ts＝1÷4＝0.25分。

平均待ち時間 Tw ＝ 0.75 ÷ (1 − 0.75) × 0.25 ＝ 0.75 ÷ 0.25 × 0.25 ＝ 0.75分
平均応答時間 T ＝ 0.25 ÷ (1 − 0.75) ＝ 0.25 ÷ 0.25 ＝ 1分

「処理自体は0.25分なのに、混雑のせいで待ちを含めると平均1分かかる」という結果です。

平均応答時間の求め方 — 3ステップと例題

平均応答時間（待ち時間＋処理時間）は、次の3ステップで求められます。

1. 平均サービス時間 Ts を確認する（サービス率μで与えられたら Ts＝1÷μ）
2. 利用率 ρ を求める（上の3通りのうち、与えられた値に合う式で）
3. 平均応答時間 T ＝ Ts ÷ (1 − ρ) に代入する。平均待ち時間が必要なら Tw ＝ T − Ts

例題1：到着率と処理時間が与えられる

あるサーバーは、1件のリクエストの処理に平均0.2秒かかります。リクエストは1秒あたり平均4件到着します。平均応答時間と平均待ち時間を求めてください（M/M/1とする）。

① Ts ＝ 0.2秒
② ρ ＝ λ × Ts ＝ 4 × 0.2 ＝ 0.8
③ T ＝ 0.2 ÷ (1 − 0.8) ＝ 0.2 ÷ 0.2 ＝ 1.0秒、Tw ＝ 1.0 − 0.2 ＝ 0.8秒

例題2：平均到着間隔が与えられる（単位に注意）

平均到着間隔が50ミリ秒、1件あたりの平均処理時間が40ミリ秒のシステムの平均応答時間を求めてください。

① Ts ＝ 40ミリ秒
② ρ ＝ Ts ÷ 平均到着間隔 ＝ 40 ÷ 50 ＝ 0.8
③ T ＝ 40 ÷ (1 − 0.8) ＝ 40 ÷ 0.2 ＝ 200ミリ秒（平均待ち時間は 200 − 40 ＝ 160ミリ秒）

処理そのものは40ミリ秒なのに、利用率80%では応答に5倍の200ミリ秒かかります。

例題3：逆算する（何件まで受け付けられるか）

例題1のサーバー（Ts＝0.2秒）で、平均応答時間を1.0秒以内に抑えたいとき、1秒あたり何件まで受け付けられますか。

T ＝ Ts ÷ (1 − ρ) ≦ 1.0 より、0.2 ÷ (1 − ρ) ≦ 1.0 → 1 − ρ ≧ 0.2 → ρ ≦ 0.8
ρ ＝ λ × Ts なので、λ ≦ 0.8 ÷ 0.2 ＝ 4件/秒

このように「応答時間の目標から、許容できる利用率や到着数を逆算する」のが、実務のキャパシティ設計での使い方です。

利用率が上がると待ち時間が急増する

ここが最重要ポイント。公式の分母が (1 − ρ) なので、ρが1に近づくほど分母が小さくなり、待ち時間が跳ね上がります。「利用率をあと少し上げただけで、体感が急に悪化する」現象の正体です。

数値で見ると一目瞭然です（Ts＝1として、待ち時間 Tw＝ρ/(1−ρ)）。

利用率が0.5から0.9になると、待ち時間は9倍。だからサーバー設計では「利用率を上げきらず、余裕を残す」ことが重要になります。

平均待ち時間の公式の導き方

試験では公式を覚えて使えば十分ですが、「なぜこの式になるのか」を知っておくと忘れにくくなります。ここでは3段階で導きます。

① システム内の平均件数 L ＝ ρ ÷ (1 − ρ)

M/M/1では、システム内（待っている人＋処理中の人）にちょうど n 件いる確率が (1 − ρ) × ρⁿ になることが知られています。0件の確率が 1−ρ、1件が (1−ρ)ρ、2件が (1−ρ)ρ² …と、件数が1つ増えるごとに ρ 倍ずつ小さくなります。この「件数×確率」を全部足した平均が L ＝ ρ ÷ (1 − ρ) です。ρ＝0.75なら L＝0.75÷0.25＝3件です。

② リトルの法則で、件数を時間に直す

リトルの法則は「平均件数 ＝ 到着率 × 平均滞在時間（L ＝ λ × T）」という関係です。1秒に4件来て、1件が平均2秒いるなら、中には平均8件いる、という当たり前の関係を式にしたものです。これを T について解くと、

T ＝ L ÷ λ ＝ ρ ÷ {(1 − ρ) × λ}

ここで ρ ＝ λ × Ts を代入すると λ が約分されて、T ＝ Ts ÷ (1 − ρ)（平均応答時間の公式）になります。

③ 待ち時間は、応答時間から処理時間を引く

Tw ＝ T − Ts ＝ Ts ÷ (1 − ρ) − Ts ＝ ρ ÷ (1 − ρ) × Ts。これが平均待ち時間の公式です。

直感的には、「到着した人の前には平均 L ＝ ρ/(1−ρ) 件がいて、1件あたり平均 Ts ずつかかるので、待ち時間は L × Ts」と読むこともできます（M/M/1ではこの読み方が正しく成り立ちます）。

スループットとレスポンスタイムの違い

スループットは一定時間あたりに処理できる量（例：1秒あたりの処理件数）、レスポンスタイム（応答時間）は1件が終わるまでの時間です。待ち行列の言葉でいえば、スループットは窓口が実際にさばいている件数、レスポンスタイムは平均応答時間（待ち時間＋サービス時間）にあたります。

2つは同じではありません。利用率が上がると、窓口は休まず働くのでスループットは上限（サービス率）に近づきますが、行列が伸びてレスポンスタイムは急に悪化します（前述の「利用率が上がると待ち時間が急増する」のグラフ）。性能を見るときは、「たくさんさばけない」のか「1件が遅い」のかを分けて考えるのが基本です。

基本情報技術者試験ではこう出る

「利用率ρ＝λ/μを求める」「平均待ち時間・平均応答時間を計算する」「利用率が上がると待ち時間がどうなるか」がよく問われます。押さえるべきは、ρ＝到着率÷サービス率、平均応答時間＝サービス時間÷(1−ρ)、そしてρが1に近いほど待ち時間が急増（分母が1−ρ）という3点。問題文が「平均到着間隔」「1件あたりの処理時間」で与えられたら、ρ＝処理時間÷到着間隔で利用率を出すのが最短です。ネットワークやサーバーの性能設計に直結する考え方で、稼働率と信頼性設計ともあわせて押さえると、システムの性能・信頼性の全体像がつかめます。

よくある質問

Q. 到着率とは？
A. 単位時間あたりに平均何件到着するかを表す値で、記号λ（ラムダ）で表します。平均到着間隔が与えられた問題では、到着率＝1÷平均到着間隔 です（くわしくは上の表）。

Q. 利用率の計算方法は？
A. ρ＝λ÷μ が基本ですが、ρ＝到着率×平均サービス時間、ρ＝平均サービス時間÷平均到着間隔 でも同じ値になります。問題文で与えられた値に合う式を使いましょう。

Q. 到着率λ・サービス率μの単位は？
A. 「単位時間あたりの件数」です（例：1分あたり3件なら λ＝3/分）。λとμの単位をそろえておけば、ρ＝λ/μ は単位が打ち消し合って無次元（割合）になります。サービス時間 Ts＝1/μ は「1件あたりの時間」になります。

Q. 窓口が複数（M/M/2など）だとどうなる？
A. 窓口を増やすと、同じ到着率でも1つあたりの負荷が下がり、待ち時間が大きく改善します（スーパーの複数レジと同じ）。ただし計算式は複雑になり、基本情報では原則窓口1つのM/M/1が扱われます。

Q. 実務ではどう使う？
A. サーバーやネットワーク機器のキャパシティ設計に使います。「ピーク時の到着率でも利用率が高くなりすぎないか（＝待ち時間が許容範囲か）」を見積もり、余裕を持った台数・性能を選ぶ根拠にします。

まとめ

待ち行列理論（M/M/1）の要点は3つ。利用率ρ＝λ/μ（＝λ×Ts）、平均応答時間＝サービス時間÷(1−ρ)、そしてρが1に近づくほど待ち時間が急増する。計算は「Tsを確認→ρを求める→Ts÷(1−ρ)」の3ステップで、単位をそろえることだけ注意すれば解けます。「利用率を上げすぎると急に遅くなる」という現象を、数式で説明できるようになります。性能設計の土台として押さえておきましょう。

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